數(shù)學(xué)設(shè)計

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一、我國社會發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的要求

促進數(shù)學(xué)課程發(fā)展的眾多動力中，沒有比社會發(fā)展這一動力更大的了，社會發(fā)展的需要主要包括：社會生產(chǎn)力發(fā)展的需要，經(jīng)濟和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和政治方面的要求。

我國社會發(fā)展對數(shù)學(xué)課程提出了以下要求。

（一）目的性

教育必須為社會主義經(jīng)濟建服務(wù)。這就要求數(shù)學(xué)課程要有明確的目的性，即要為社會主義經(jīng)濟建設(shè)培養(yǎng)各級人才奠定基礎(chǔ)，為提高廣大勞動者的素質(zhì)做出貢獻。當今社會正由工業(yè)社會向信息社會過渡，在信息社會里多數(shù)人將從事信息管理和生產(chǎn)工作；社會財富增加要更多地依靠知識；知識更新、技術(shù)進步周期和人的職業(yè)壽命都在日益縮短，要適應(yīng)日新月異的社會，必須把勞動者的素質(zhì)、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學(xué)習(xí)的能力。

（二）實用性

數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)具有應(yīng)用的廣泛性，可以運用于解決社會生產(chǎn)、社會生活以及其他學(xué)科中的大量實際問題；運用于訓(xùn)練人的思維。應(yīng)該精選現(xiàn)代社會生和生活中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識作為數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容。另外，還要考慮其他學(xué)科對數(shù)學(xué)的要求。數(shù)學(xué)課程還應(yīng)滿足現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，加進其中廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識，如計算機初步知識、統(tǒng)計初步知識離散概率空間、二項分布等概率初步知識。

數(shù)學(xué)不僅是解決實際問題的工具，而且也廣泛用來訓(xùn)練人的思維，培養(yǎng)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的社會成員，要使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的價值，對自己的數(shù)學(xué)能力有信心，有解決數(shù)學(xué)問題的能力，學(xué)會數(shù)學(xué)交流，學(xué)會數(shù)學(xué)思想方法。

（三）思想性和教育性

我們培養(yǎng)的人應(yīng)該有理想、有道德、有文化、有紀律、熱愛社會主義祖國和社會主義事業(yè)，具有國家興旺發(fā)達而艱苦奮斗的精神；應(yīng)當不斷追求新知、實事求是、獨立思考、勇于創(chuàng)新，具有辯證唯物主義觀點。這就要求數(shù)學(xué)課程適當介紹中國數(shù)學(xué)史，以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀點來闡述課程內(nèi)容，有意識地體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點。體現(xiàn)運動、變化、相互聯(lián)系的觀點。

《實驗教材》用“精簡實用”的選材標準來滿足這些要求。

二、數(shù)學(xué)的發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的要求

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)當是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當配合的整體

數(shù)學(xué)研究對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式?；A(chǔ)數(shù)學(xué)的對象是數(shù)、空間、函數(shù)，相應(yīng)的是代數(shù)、幾何、分析等學(xué)科，它們是各成體系但又密切聯(lián)系的?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了許多綜合性數(shù)學(xué)分支，都是在它們的基礎(chǔ)上產(chǎn)生并發(fā)展起來的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運用。代數(shù)、幾何、分析在相鄰學(xué)科和解決各種實際問題中都有廣泛應(yīng)用，所以中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)當是它們恰當配合的整體。曾經(jīng)出現(xiàn)過的把中學(xué)課程代數(shù)結(jié)構(gòu)化（如“新數(shù)”）的設(shè)計方案?！耙院瘮?shù)為綱”使中學(xué)數(shù)學(xué)課程分析化的設(shè)計方案都不成功，正是沒有滿足這一要求。

（二）適當增加應(yīng)用數(shù)學(xué)的內(nèi)容

應(yīng)用數(shù)學(xué)近年來蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了許多新的分支和領(lǐng)域，應(yīng)用范圍也在日益擴大，這種形勢也要求在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中有所反映。從“新數(shù)運動”開始，各國數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中陸續(xù)增加了概率統(tǒng)計和計算機的初步知識。這一方面說明概率統(tǒng)計和計算機知識在社會生產(chǎn)和社會生活中的廣泛應(yīng)用，另一方面也說明數(shù)學(xué)的發(fā)展擴大了它的基礎(chǔ)，對中學(xué)數(shù)學(xué)課程提出了新的要求。

由于計算機科學(xué)研究的需要，“離散數(shù)學(xué)”越來越顯得重要。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當增加離散數(shù)學(xué)的比重。

（三）系統(tǒng)性

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，包括代數(shù)、幾何、分析到19世紀末都相繼奠定了嚴格的邏輯基礎(chǔ)。到本世紀30年代法國布爾巴基學(xué)派用公理化方法，使整個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化。任何一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)都可以歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)的復(fù)合。經(jīng)過用公理化方法的整理，使數(shù)學(xué)成為一個邏輯嚴密、系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)。因此，作為符合數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)要求的中學(xué)數(shù)學(xué)課程就必須具有一定的系統(tǒng)性和邏輯嚴密性。

（四）突出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法

現(xiàn)代數(shù)學(xué)進行著不同領(lǐng)域的思想、方法的相互滲透。許多曾經(jīng)認為沒有任何共同之處的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在已建立在共同的統(tǒng)一的思想基礎(chǔ)上了。

數(shù)學(xué)思想和方法把數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)結(jié)成一個統(tǒng)一的有結(jié)構(gòu)的整體。所以，我們應(yīng)該體現(xiàn)突出數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。

《實驗教材》以“反璞歸真”的指導(dǎo)思想來滿足數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的要求。

三、教育、心理學(xué)發(fā)展對數(shù)學(xué)課程的要求

教育、心理學(xué)的發(fā)展，對教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的心理規(guī)律有了更深入的認識。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計要符合學(xué)生認知發(fā)展的規(guī)律。認知發(fā)展，要經(jīng)歷多種水平，多種階段。認知的發(fā)展呈現(xiàn)一定的規(guī)律?；谶@些規(guī)律，要求數(shù)學(xué)課程具有：

（一）可接受性

教學(xué)內(nèi)容、方法都要適合學(xué)生的認知發(fā)展水平。獲得新的數(shù)學(xué)知識的過程，主要依賴于數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中原有的適當概念，通過新舊知識的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的過程，它包括輸入、同化、操作三個階段。因此，作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要同學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有密切聯(lián)系。其抽象性與概括性不能過低或過高，要處于同級發(fā)展水平。這樣才能使數(shù)學(xué)課程內(nèi)容被學(xué)生理解，被他們接受，才能產(chǎn)生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。

（二）直觀性

皮亞杰的認知發(fā)展階段的理論認為，中學(xué)生的認知發(fā)展水平已由具體運算進入了抽象運算階段，但是即使他們在整體上認知水平已經(jīng)達到了抽象運算的水平，在每個新數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中仍然要經(jīng)歷從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，他們在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時仍采用具體或直觀的方式去探索新概念。因此，數(shù)學(xué)課程應(yīng)向?qū)W生提供豐富的直觀背景材料。不拘泥于抽象的形式，著重于向?qū)W生提示抽象概念的來龍去脈和其本質(zhì)。也就是要“反璞歸真”。

（三）啟發(fā)性

蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基認為兒童心理機能“最近發(fā)展區(qū)”的水平。表現(xiàn)為發(fā)展程序尚未成熟，正處于形成狀態(tài)。兒童還不能獨立地解決一定的靠智力解決的任務(wù)，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務(wù)。數(shù)學(xué)課程的啟發(fā)性就在于激發(fā)、誘導(dǎo)那些正待成熟的心理機能的發(fā)展，不斷地使“最近發(fā)展區(qū)”的矛盾得到轉(zhuǎn)化，而進入更高一級的數(shù)學(xué)認知水平。

要使數(shù)學(xué)課程真正具有啟發(fā)性，需要克服兩種偏向：第一，內(nèi)容過于簡單，缺乏思考余地。沒有挑戰(zhàn)性，不能激發(fā)學(xué)生思維，甚至不能滿足學(xué)生學(xué)習(xí)愿望。第二，內(nèi)容過于復(fù)雜、抽象。超過了學(xué)生數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)中“最近發(fā)展區(qū)”的水平，學(xué)生將會由于不能理解它，產(chǎn)生畏懼心理，最后厭惡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

布魯納曾指出，向成長中的兒童提出難題，激勵他們向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導(dǎo)下，他的數(shù)學(xué)課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內(nèi)容啟發(fā)性的體現(xiàn)。

《實驗教材》用“順理成章、深入淺出”的指導(dǎo)思想來體現(xiàn)以上諸要求。

四、三方面需求的和諧統(tǒng)一

上面分別考查了三個方面對數(shù)學(xué)課程提出的要求，這些要求有時互為前題，互相補充，而有時卻是彼此矛盾的。這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)課程設(shè)計的復(fù)雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統(tǒng)一呢？從《實驗教材》11年的實驗中形成了16字指導(dǎo)數(shù)學(xué)課程設(shè)計的思想，比較恰當?shù)慕y(tǒng)一了以上三方面的需求。這16字的指導(dǎo)思想是“精簡實用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。

“精簡實用”是個基本的指導(dǎo)思想，它恰當?shù)乇憩F(xiàn)了理論和實際的正確關(guān)系。由實際到理論，就是由繁精簡，把實際中多樣的事物、現(xiàn)象，經(jīng)過分析、綜合，歸納出簡單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡的理論才能用來“以簡馭繁”。所以“精簡實用”在科學(xué)上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡明扼要的理論。要做到精簡，必須抓住重點。教材中普遍實用的最基礎(chǔ)部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點。中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎(chǔ)部分恰當配合的整體，這樣做既可滿足社會的需要、數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的要求，又可滿足可接受性的要求。其中普遍實用的最基礎(chǔ)部分是代數(shù)中的數(shù)系，最普遍有用的是數(shù)系的運算律（“數(shù)系通性”）；解代數(shù)方程；多項式運算；待定系數(shù)法。幾何中的重要內(nèi)容是教導(dǎo)學(xué)生研習(xí)演繹法，要點在于讓學(xué)生逐步體會空間基本性質(zhì)的本質(zhì)與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結(jié)構(gòu)全面代數(shù)化的理論基礎(chǔ)。用向量把幾何學(xué)全面代數(shù)化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點。分析的重要內(nèi)容除函數(shù)、極限、連續(xù)等分析學(xué)的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。

“反璞歸真”就是著重于教學(xué)生以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，而不拘泥于抽象的形式。初等代數(shù)最基本的思想、最重要的本質(zhì)就是那些非常簡單的數(shù)的運算律，它們是整個代數(shù)學(xué)的根本所在。把它形式化，也就是多項式的運算和理論。傳統(tǒng)的代數(shù)教學(xué)從多項式的形式理論開始，學(xué)生不解其義，感到枯燥。《實驗教材》反璞歸真，先講代數(shù)的基本原理就是靈活運用運算律，首先用以解決一次方程的實際問題，學(xué)生自然地覺得應(yīng)該有一個多項式理論，然后再講多項式，這樣學(xué)生易于理解多項式的來源與本質(zhì)。“這就是反璞歸真”的一個實例。

基本的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出其教學(xué)是把知識教學(xué)與能力訓(xùn)練統(tǒng)一起來的重要一環(huán)。把知識看作一個過程，弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡(luò)，學(xué)生的數(shù)學(xué)才能才發(fā)展起來，要學(xué)生“會學(xué)”數(shù)學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，會“數(shù)學(xué)地”提出問題，思考問題、解決問題。

《實驗教材》一開始就突出了用符號（字母）表示數(shù)的基本思想和方法。

集合的思考方法，在幾何和代數(shù)中都十分重視。經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生從考慮具體的數(shù)學(xué)對象到考慮對象的集合，進而考慮分類等問題。

函數(shù)的思考方法，考慮對應(yīng)，考慮運動的變化、相依關(guān)系，由研究狀態(tài)過渡到研究過程。分解和組合的方法。對數(shù)學(xué)問題的分析與綜合、轉(zhuǎn)化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類比、遞推、歸納等基本的數(shù)學(xué)思想與方法都分別得到強調(diào)。

“順理成間”就是要從歷史發(fā)展程序和認識規(guī)律出發(fā)，“順理成間”地設(shè)計數(shù)學(xué)課程。數(shù)學(xué)是一種演繹體系，有時甚至本末倒置。這正是數(shù)學(xué)本身的要求和學(xué)生心理發(fā)展的要求相矛盾的所在。正確處理這個矛盾，使這兩方面的要求和諧統(tǒng)一，課程設(shè)計就既不能違背邏輯次序。更要符合認識程序。因此，要參照數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，用數(shù)學(xué)概念的逐步進化演變過程作為明鏡，用基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的層次與脈絡(luò)作為依據(jù)來設(shè)計數(shù)學(xué)課程。數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展經(jīng)歷過若干重要轉(zhuǎn)折。學(xué)生的認識過程和數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展過程（人類認識數(shù)學(xué)的過程）有一致性。數(shù)學(xué)教材的設(shè)計要著力于采取措施引導(dǎo)學(xué)生合乎規(guī)律地實現(xiàn)那些重大轉(zhuǎn)折，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)順理成章地由一個高度發(fā)展到另一個新的高度。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，主要經(jīng)歷過五個大的轉(zhuǎn)折。

由算術(shù)到代數(shù)是一個重大的轉(zhuǎn)折。實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)折，重要的是要向?qū)W生講清代數(shù)的基本精神是靈活運用運算律謀求問題的統(tǒng)一解法。由實驗幾何到論證幾何是第二個重大轉(zhuǎn)折。要對空間的基本概念與基本性質(zhì)加以系統(tǒng)的觀察、分析與實驗，建立“空間通性”的一個明確體系，達到“探源、奠基與啟蒙”三個目的，然后引進集合術(shù)語并以集合作工具，講清一些基本邏輯關(guān)系、推理格式，再轉(zhuǎn)入歐幾里得推理幾何。第三個轉(zhuǎn)折是從定性幾何到定量幾何，即從綜合幾何到解析幾何。要對幾何問題謀求統(tǒng)一解法，出路在代數(shù)化，首先要把一個基本幾何量代數(shù)化，就得到向量的概念，然后運用歐氏空間特有的平移、相似與勾股定理等基本性質(zhì)引起向量的加法、倍積與內(nèi)積這三種向量運算。這樣就把窨的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運算。這樣就把空間的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為向量和向量運算這種代數(shù)體系，因而空間的基本性質(zhì)也就轉(zhuǎn)化成向量運算的運算律。換句話說，向量的運算律也就是代數(shù)化的幾何公理。這樣就實現(xiàn)定性幾何到定量幾何的轉(zhuǎn)折。向量是這個轉(zhuǎn)折的樞紐。第四個轉(zhuǎn)折是從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，這在概念和方法論方面都有相當大幅度的飛躍，需要早作準備。初中二年級已引入三角函數(shù)的初步概念，初三正式研究各種函數(shù)，到高一、高二的代數(shù)與解析幾何中，就逐步講座到連續(xù)性、實數(shù)完備性、切線等概念。數(shù)列、逼近的思想也早有滲透，到高三進一步突出逼近法研究極限、連續(xù)、微分、積分等變量數(shù)學(xué)問題。第五個轉(zhuǎn)折是由確定性數(shù)學(xué)到隨機性數(shù)學(xué)。在代數(shù)之后引起概率論初步。

上述數(shù)學(xué)課程設(shè)計，既遵循歷史發(fā)展的規(guī)律，又突出了幾個轉(zhuǎn)折關(guān)頭，縮短了認識過程。有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想發(fā)展的脈絡(luò)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的思想性。

“深入淺出”就是要學(xué)到應(yīng)有的深度，才能淺出。許多事物和現(xiàn)象表面上各不相連，但是把它們提高到適當?shù)母叨葋砜?，這些事物和現(xiàn)象就會有一種統(tǒng)一的理論串連其間。因此，如果沒有掌握到這種樞紐性的理論，就無法回頭用理論來統(tǒng)一一系列繁復(fù)多樣的實際。所以數(shù)學(xué)課程的設(shè)計要用學(xué)生易于接受的形式引導(dǎo)學(xué)生去掌握樞紐性的理論?！罢碱I(lǐng)制高點”，才能居高臨下，一目了然。把數(shù)學(xué)課程搞得淺薄，砍掉具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論，把數(shù)學(xué)課程變成一本支離破碎的流水帳，一來難懂，二來無用，所以深入淺出的要點在于教好那些具有樞紐地位的基礎(chǔ)理論。

《實驗教材》的實驗證明，16監(jiān)察院指導(dǎo)思想恰當?shù)靥幚砹死碚摵蛯嶋H的關(guān)系，數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系，數(shù)學(xué)知識教學(xué)與數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的關(guān)系，數(shù)學(xué)課程完整性與發(fā)展性的關(guān)系等，充分滿足了三方面的要求，五個轉(zhuǎn)折都順利地實現(xiàn)了。《實驗教材》內(nèi)容多、要求高、負擔重，有待進一步精簡。

《實驗教材》的實驗研究取得了效果和經(jīng)驗。但是數(shù)學(xué)課程發(fā)展的規(guī)律、指導(dǎo)發(fā)展的理論尚待探索和逐步建立，尚需使用歷史分析的方法，比較研究和實驗研究的多種方法，研究古、今、中、外的數(shù)學(xué)課程，從中探索出規(guī)律，建立數(shù)學(xué)課程發(fā)展的系統(tǒng)理論，以指導(dǎo)今后的數(shù)學(xué)課程改革和設(shè)計的實踐。

再談面向新世紀的數(shù)學(xué)課程

丁爾升（北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系100875）

義務(wù)教育的新數(shù)學(xué)課程和教材從去年下半年開始已在全國普遍實施和使用。義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程有一個基本精神，就是要從應(yīng)試教育轉(zhuǎn)到素質(zhì)教育，這個轉(zhuǎn)變涉及到教育思想、教育目標、教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和手段等各個方面。要實現(xiàn)這些轉(zhuǎn)變，絕不是編輯出版幾套新材料就完事的，何況新教材也只是一個階段性成果，隨著對新世紀挑戰(zhàn)的認識的提高還會有新的改革。所以實施義務(wù)教育的新數(shù)學(xué)課程是一個長期、艱巨的改革過程。今天我不打算全面闡述這個過程，也是我力所不及的，我只想提供一點“參考消息”，看看國外一些人是如何議論迎接新世紀挑戰(zhàn)問題的。我想綜合一些研究成果或有傾向性的預(yù)測，描述一下面向新世紀的數(shù)學(xué)課程。

1、條件的重大變化

我們從分析影響數(shù)學(xué)課程變革的條件的重大變化開始。

首先，數(shù)學(xué)的社會需要有很大改變。隨著經(jīng)濟適應(yīng)信息時代的需要，每個部門的工作人員――從飯店服務(wù)員到秘書，從汽車修理工到旅游人――都必須懂得計算機控制過程?，F(xiàn)在大多數(shù)職業(yè)都要求從業(yè)人員具有分析能力而不單純是機械的操作技能，所以絕大多數(shù)學(xué)生需要更多的數(shù)學(xué)能力作為普通職業(yè)的準備。同樣，在每天的報紙和公眾的政策討論中都廣泛使用圖表、統(tǒng)計數(shù)據(jù)。為了更有效地參加社會生活不能不要求普通公民具有更高標準的數(shù)量意識，市場經(jīng)濟需要人們掌握更多有用的數(shù)學(xué)。隨著承包制、股份制、租憑制的進一步推行，市場經(jīng)濟的逐步完善，無論是城市還是廣大農(nóng)村，生產(chǎn)者也將成為經(jīng)營者，因而，成本、利潤、投入、產(chǎn)出、貸款、效益、股份、市場預(yù)測、風險評估等一系列經(jīng)濟詞匯頻繁使用，買與賣、存款與保險、股票與倆券……幾乎每天都會碰到。相應(yīng)地，與這些經(jīng)濟活動相關(guān)的數(shù)學(xué)，如比和比例、利息與利率、統(tǒng)計與概率、運籌與優(yōu)化以及系統(tǒng)分析一決策……就應(yīng)成為中小學(xué)要學(xué)的數(shù)學(xué)了。

科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是信息時代的到來，要求人們具有更高的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，現(xiàn)代高技術(shù)越來越表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)技術(shù)。高科技的發(fā)展、應(yīng)用，把現(xiàn)代數(shù)學(xué)以技術(shù)化的方式迅速輻射到人們?nèi)粘Ｉ畹母鱾€領(lǐng)域，智能機器人、辦公自動化以及計算機儲蓄、售貨和個人胸等電子產(chǎn)業(yè)將高速發(fā)展，到下個世紀，理個普通老百姓要是“計算機盲”，將會像現(xiàn)在的文盲一樣不適應(yīng)現(xiàn)代生活。

生活中需要越來越多的數(shù)學(xué)語言。各種圖統(tǒng)計圖表，數(shù)學(xué)符號向各行各業(yè)普通老百姓傳遞著大量信息。

其次，數(shù)學(xué)及其應(yīng)用有很大變化。最近二三十年數(shù)學(xué)的性質(zhì)及其應(yīng)用的途徑發(fā)生了巨大變化。不僅發(fā)現(xiàn)了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且應(yīng)用數(shù)學(xué)的問題類型以空前的速度增長了。當然，最顯著的是計算機的發(fā)展和計算機應(yīng)用的爆炸性的增長。這些計算機應(yīng)用的絕大多數(shù)都要求發(fā)展新的數(shù)學(xué)，在計算機出現(xiàn)以前不可能在這些領(lǐng)域應(yīng)用的數(shù)學(xué)，雖不顯著，但同樣重要的是在用廣泛應(yīng)用性的統(tǒng)一概念聯(lián)系起來的幾個主要數(shù)學(xué)分支中產(chǎn)生的大量思想財富。學(xué)生必須學(xué)習(xí)在這些應(yīng)用中使用的數(shù)學(xué)以便掌握數(shù)學(xué)的威力去解決實際問題。

數(shù)學(xué)的發(fā)展使人們對“數(shù)學(xué)是什么”的認識有變化。數(shù)學(xué)是一門科學(xué)。觀察、實驗、發(fā)現(xiàn)、猜想等數(shù)學(xué)的實踐部分和任何自然科學(xué)是一樣多的。嘗試和錯誤、假說和調(diào)研，以及度量和分類是數(shù)學(xué)家常用的部分技巧，學(xué)校應(yīng)當教。實驗室作業(yè)和實習(xí)作業(yè)對于理解數(shù)學(xué)是什么及其如何使用不但是適宜而且是必需的。在數(shù)學(xué)實驗室里計算器和計算機是必需的工具。實際數(shù)據(jù)（科學(xué)實、人口統(tǒng)計、民意測驗等的數(shù)據(jù)），觀察和度量的對象（骰子、方塊、球）是作圖工具（尺子、細繩、量角器、膠泥、坐標紙）都是必需的。像生物是有機體的科學(xué)，物理是物和能的科學(xué)一樣，數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。這種表述至少可以回朔到笛卡兒，他把數(shù)學(xué)稱作“序的科學(xué)”，后來物理學(xué)家斯梯文?溫伯格（StevenWeinberg）用它去解釋數(shù)學(xué)預(yù)測自然的神奇能力時作了改進。類似地把數(shù)學(xué)看成“模式與關(guān)系”的科學(xué)，形成了在《美國大眾科學(xué)》(ScienceforAllAmericans)中表述數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。通過它們的所有表現(xiàn)形式――數(shù)、數(shù)據(jù)、形、序、甚至模式本身來劃分、解釋和描述模式，數(shù)學(xué)確信科學(xué)家遇到的任何模式都可以在某處解釋為數(shù)學(xué)實踐的組成部分。

模式在數(shù)學(xué)的每個方面都是明顯的。學(xué)生學(xué)到算術(shù)如何依靠數(shù)的規(guī)則性；他們能夠看到乘法表中的次序，而且驚奇素數(shù)模式中的無次序。多面體的幾何展示了規(guī)則性，在自然和建筑中它經(jīng)常出現(xiàn)。甚至統(tǒng)計這門研究是無序的學(xué)科，也依靠把模式展示成估價不確定性的碼尺。數(shù)學(xué)也是一種交流形式，它是自然語言的補充，所以數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，而且數(shù)學(xué)也是一種語言。不僅是自然所說的語言，而且也是商業(yè)、貿(mào)易的合適語言。

數(shù)學(xué)科學(xué)現(xiàn)在是自然科學(xué)、社會科學(xué)和行為科學(xué)的基礎(chǔ)。由于計算機和世界范圍的數(shù)字式交流的支持，商業(yè)和工業(yè)都越業(yè)越依靠不僅是傳統(tǒng)的而且是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分析方法。數(shù)學(xué)可以作商業(yè)和科學(xué)的語言準確地是因為數(shù)學(xué)是描述模式的語言。用它的符號和句法、詞匯和成語，數(shù)學(xué)語言是交流關(guān)系和模式的通用工具。它是一種每個人都必須學(xué)習(xí)使用的語言。如果說數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)和語言，那么要學(xué)懂數(shù)學(xué)就是要去研究和表示模式之間的關(guān)系：在復(fù)雜、模糊的環(huán)境中能夠辨明模式；理解并變換模式間的關(guān)系；對模式分類、編碼、描述；用模式的語言讀寫；并使用模式的知識運達到各種實際目的。要掌握模式的多樣性，數(shù)學(xué)課程需要介紹和發(fā)展多種不同類型的數(shù)學(xué)模式。數(shù)學(xué)要研究的模式不限于算術(shù)法則，所以中學(xué)數(shù)學(xué)里研究的模式必須打破人為的限制。一個搞數(shù)學(xué)的人，他搜集、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造或表達關(guān)于模式的事實和思想。數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造性的、活躍的過程和被動地掌握概念和程序很不相同。事實、公式和信息有多價值只有看它在多大程度上支持有效的數(shù)學(xué)活動。雖然有些基礎(chǔ)的概念和程序所有學(xué)生都必須知識只是是教學(xué)應(yīng)當堅定地強調(diào)，學(xué)數(shù)學(xué)是要追求去理解、去交流，而不僅僅是去計算，通過展開模式的基本原理，數(shù)學(xué)可以使腦子成為處理現(xiàn)實世界問題的有效工具。從這些觀點能夠為下一個世紀導(dǎo)出有效的、能動的中學(xué)數(shù)學(xué)課程。

第三，新技術(shù)的作用有很大變化。計算器和計算機已經(jīng)深刻地改變了數(shù)學(xué)世界。它們不僅影響到什么數(shù)學(xué)是重要的，而且也影響到如何做數(shù)學(xué)，現(xiàn)在袖珍計算器上能夠做幾乎所有幼兒園到兩年制大學(xué)教的數(shù)學(xué)技術(shù)，僅只這一事實（巴斯卡的夢在我們這個時代實現(xiàn)了）就必定會大大影響數(shù)學(xué)課程。雖然學(xué)科的最前沿的發(fā)展一般不會對早期的教育產(chǎn)生主要影響，但是由計算機和計算器帶來的數(shù)學(xué)中的變化如此深刻，需要重新調(diào)整中學(xué)數(shù)學(xué)中各課題的處理方法和它們之間的平衡。

比如對發(fā)展常規(guī)計算技能的重視程度應(yīng)降低，這就會有更多的時間來發(fā)展對數(shù)學(xué)過程的理解和推理能力；易于開發(fā)一種課程，可能加強近似計算和估算。一個學(xué)生能準確作2507×4131的乘法和能夠說出結(jié)果大約是一千萬,哪個更重要些呢?常常一個近似的答案不僅已經(jīng)足夠,而且比精確答案需要更多的洞察力,而且近似答案可以給精確結(jié)果提供快速檢驗;可以開發(fā)強調(diào)各種數(shù)學(xué)方法的更廣的課程.

計算器和計算機不僅改變了什么數(shù)學(xué)重要,而且也改變了數(shù)學(xué)應(yīng)當如何教.它們把困難的變得容易,使不可行的變得可行.例如,計算機能夠顯示和操作像三維的形狀復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象。使用計算機，學(xué)生能夠解決與他們?nèi)粘Ｉ钣嘘P(guān)的現(xiàn)實問題和能夠激發(fā)他們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生持久的興趣。計算機能把教師解放出來去完成只有教師才能完成的任務(wù)。比如和學(xué)生一起去探索、猜想。計算機提供了一種動態(tài)的、畫圖的手段；它還提供了許多有效的途徑去表達數(shù)學(xué)思想。新技術(shù)使數(shù)學(xué)更加現(xiàn)實，計算機出現(xiàn)之前，難以完成現(xiàn)實問題所要求的計算，有了計算機計算不再是障礙，只要問題能被學(xué)生掌握，就能解出。實驗中得到的現(xiàn)實數(shù)據(jù)可以得到分析處理。表達重要物理現(xiàn)象的方程可以解出。許多精深的概念用計算機比用其他任何更能做得易理解。

第四，對學(xué)生學(xué)習(xí)的理解有變化。學(xué)習(xí)不是一種被動地吸取知識，并通過反復(fù)練習(xí)，強化儲存知識的過程，而是學(xué)生原有知識處理每項新的任務(wù)，同化新知識，并構(gòu)建他們自己的意義，再者，一些思想、概念在記憶里不是孤立的，而是有組織的并且和他過去用的自然語言及遇到過的情況相聯(lián)系。這種對學(xué)習(xí)的積極的、構(gòu)造性的觀點必須在教數(shù)學(xué)的途徑中反映出來。2、通向未來的轉(zhuǎn)變

美國數(shù)學(xué)科學(xué)家教育委員會、數(shù)學(xué)科學(xué)家委員會以及2000年數(shù)學(xué)科學(xué)委員會提出的《人人有份》（EverybodyCounts）這份報告中預(yù)示這次數(shù)學(xué)課程改革要實現(xiàn)七個重大的轉(zhuǎn)變寫道：“為了迎接時代的挑戰(zhàn)，數(shù)學(xué)教育正要處理幾個困難的轉(zhuǎn)變，這些轉(zhuǎn)變將支配本世紀剩下這段時間的改革過程”。這七個轉(zhuǎn)變可以概括數(shù)學(xué)教育，特別是數(shù)學(xué)課程改革的趨向和前景。這七個轉(zhuǎn)變是：

第一，中學(xué)數(shù)學(xué)的目標應(yīng)從雙重使命（為多數(shù)人的數(shù)學(xué)很少，為少數(shù)人的數(shù)學(xué)很多）轉(zhuǎn)變到單一目標：為所有學(xué)生提供重要的、共同的核心數(shù)學(xué)。由于工業(yè)社會、信息社會對勞動力的需求是要他們有更高文化修養(yǎng)，所以要給所有學(xué)生提供更多的數(shù)學(xué)教育，所要要發(fā)展適合于每個年級所有學(xué)生的核心數(shù)學(xué)課程，即要面向大多數(shù)，甚至是所有學(xué)生，要大多數(shù)公民甚至是全體公民都學(xué)好數(shù)學(xué)；對能力強的學(xué)生還要用數(shù)學(xué)去激勵他們；在教學(xué)中用方法和進度而不是用課程目標來區(qū)分；選擇普遍有趣的課題和有效的教學(xué)方法。

第二，數(shù)學(xué)教學(xué)從“傳授知識”的傳統(tǒng)模式轉(zhuǎn)變到“以激勵學(xué)習(xí)為特征的，以學(xué)生為中心”的實踐模式，由學(xué)生被動聽講的課堂變成學(xué)生積極主動參與的像下面這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境：鼓勵學(xué)生去探索；幫助學(xué)生表達自己的數(shù)學(xué)思想；讓學(xué)生看到許多數(shù)學(xué)問題不只一個正確答案；提供證據(jù)，證明數(shù)學(xué)是生動的，激動人心的；使學(xué)生體驗到深入理解和嚴格推理的重要性；使所有學(xué)生都建立起能夠?qū)W好數(shù)學(xué)的自信心。

第三，公眾對數(shù)學(xué)的態(tài)度從冷漠和敵意轉(zhuǎn)到承認數(shù)學(xué)在今日社會中的重要性。通過現(xiàn)代事件傳送的信息，使公眾認識：期望高的地方，數(shù)學(xué)要得也多；隨著科學(xué)技術(shù)作用的增大，數(shù)學(xué)的重要性也增加；對于有文化的公民發(fā)揮作用來說；數(shù)學(xué)文化同文化一樣重要。

第四，數(shù)學(xué)教學(xué)從熱衷于無數(shù)的常規(guī)練習(xí)轉(zhuǎn)到發(fā)展基礎(chǔ)寬廣的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力應(yīng)該要求達到能夠辨明關(guān)系、邏輯推理，并能運用各種數(shù)學(xué)方法去解決廣泛的、多種多樣的非常規(guī)問題，要求今天的學(xué)生必須能夠：進行心算和有效的估算；知道在某一特定條件下適于使用哪種數(shù)學(xué)運算；能夠正確、自信和恰當?shù)厥褂糜嬎闫?；會估計?shù)量級以確認心算或計算器計算的結(jié)果：會使用表、圖、電子數(shù)據(jù)表(Spreadsheet)和統(tǒng)計技術(shù)去組織、解釋和表示數(shù)值信息；能判斷別提供的數(shù)據(jù)的可靠性；會使用計算機軟件去完成數(shù)學(xué)任務(wù)；能從模糊的實際課題中去形成一些特別的問題；會選擇有效解決問題的策略。

第五，數(shù)學(xué)教學(xué)從強調(diào)為學(xué)習(xí)進一步的課程的需要轉(zhuǎn)到更多地強調(diào)學(xué)生今天和將來所需要的課題，大多數(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容都要在它的運用的情境中來呈現(xiàn)，它的邏輯體系要隨年級的提高慢慢地建立起來。值得更加強調(diào)的課題和領(lǐng)域，作為例子，可以舉出：概率，它便于不確定性地說理和對風險的估價；探測數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計，它便于關(guān)于數(shù)據(jù)的說理；建模，它可以增進對復(fù)雜情形的系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)性的理解；運籌學(xué)，它便于復(fù)雜任務(wù)的計劃和行為目標的達成；離散數(shù)學(xué)，它便于對大多數(shù)計算機應(yīng)用的理解。這些課題和領(lǐng)域?qū)褂^察和實驗在未來數(shù)學(xué)大綱中占重要地位，將使數(shù)學(xué)和其他科目，特別是和自然科學(xué)科目更加靠近。

第六，數(shù)學(xué)教學(xué)從原始的紙筆計算轉(zhuǎn)到使用計算器和計算機，各級數(shù)學(xué)教師正使他們的教學(xué)方法和科目適應(yīng)于未來的課程。計算器和計算機使得新教學(xué)模式成為可行的同時給學(xué)習(xí)環(huán)境注入一種特別的驚異的感覺，它將伴隨數(shù)學(xué)能力的健康發(fā)展。

由于技術(shù)發(fā)展計算器和計算機的使用方法也要持續(xù)地迅速改變。應(yīng)當使用新技術(shù)不是因為它有魅力，而是因通過擴充每個學(xué)生的數(shù)學(xué)能力它通順提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，計算器和計算機不是去代替用功和嚴密思維，而是用作爭取好成績的武器。

第七，公眾對數(shù)學(xué)的理解從“隨心所欲的法則的不變教條”轉(zhuǎn)到“關(guān)于模式的嚴格而生動的科學(xué)”。數(shù)學(xué)是一門生動活潑的科目，它尋求蘊藏于周圍世界和我們頭腦中的模式。這個轉(zhuǎn)變要求課程內(nèi)容和教學(xué)方式兩個方面的變革：尋求解法，不僅是記住步驟；探索模式，不僅是學(xué)習(xí)公式；形成猜想，不僅是做練習(xí)，當教學(xué)開始反映這些重點的時候，學(xué)生將有機會像這樣去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)：作為探索性的、動態(tài)的、進展的科目，而不是作為僵死的、絕對的、封閉的一組被記住的定律去學(xué)習(xí)，學(xué)生將被鼓勵去把數(shù)學(xué)看作一門科學(xué)，而不是看作教規(guī)，并且認識到：數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)而不僅是關(guān)于數(shù)的科學(xué)。

3、建立新數(shù)學(xué)課程的原則

前面已經(jīng)談到促使數(shù)學(xué)課程改革的條件變化和改革的方向。把數(shù)學(xué)看成模式的科學(xué)和語言的觀點為新數(shù)學(xué)課程奠定了基礎(chǔ)，改革仍可采取多種形式，但它應(yīng)該遵循一些基本原則。美國數(shù)學(xué)科學(xué)教育委員會在《重建中小學(xué)數(shù)學(xué)》（ReshapingSchoolMathematics）一書中提出了六條原則：

原則1：數(shù)學(xué)教育必須集中于發(fā)展數(shù)學(xué)能力

數(shù)學(xué)能力使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和方法并且在各種情況下辨明數(shù)學(xué)關(guān)系。它幫助學(xué)生邏輯地推理，解決各種問題，常規(guī)的和非常規(guī)的問題。數(shù)學(xué)能力要求學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)方法閱讀文獻，能夠用口頭和書面的形式表達數(shù)量的和邏輯的分析。

數(shù)學(xué)能力強的學(xué)生能夠在他的職業(yè)和日常生活中使用數(shù)學(xué)。他們將是數(shù)學(xué)思想的明智使用者，接受或者拒絕表面上有數(shù)學(xué)論證的主張，他們將會數(shù)學(xué)地看事情，知道什么時候數(shù)學(xué)的分析有助于解釋清問題。他們將有充分的數(shù)學(xué)知識去擇業(yè)和進一步學(xué)習(xí)要求精通數(shù)學(xué)的學(xué)科。

數(shù)學(xué)能力不包括交流數(shù)學(xué)的才能。除了知道如何解決問題以外，學(xué)生還必須會閱讀并理解數(shù)學(xué)課本并且會口頭和書面地把數(shù)學(xué)研究和問題解決的結(jié)果向別人表達。所以，數(shù)學(xué)課程必須提供適當?shù)那榫?，讓學(xué)生能夠?qū)W習(xí)讀數(shù)學(xué)、寫數(shù)學(xué)、說數(shù)學(xué)。

原則2：數(shù)學(xué)課程從始至終都應(yīng)當使用計算器和計算機

學(xué)生只有把數(shù)學(xué)看成配稱現(xiàn)代的科目才能獲得數(shù)學(xué)能力。新課程教材必須設(shè)計得能從科學(xué)技術(shù)的進一步發(fā)展預(yù)期不斷改革。在數(shù)學(xué)中，不積極參與數(shù)學(xué)的交際活動過程（猜想與爭論、探索和推理、問題提出和解決、計算和檢驗），一般不可能達到理解。計算器功能像“快筆”，所以能夠使數(shù)學(xué)過程比用紙筆更有用、更有效率。同樣，計算機能使學(xué)生算得快、畫得快，快速地模似過程，使用其他任何手段是難以作到的。所以使用計算器和計算機的教學(xué)比傳統(tǒng)教學(xué)更有潛力，更能使學(xué)生獲得深刻的理解。

原則3：恰當?shù)膽?yīng)用應(yīng)當是課程有的機組成部分

學(xué)生需要在自然地產(chǎn)生數(shù)學(xué)思想的情境――從簡單的計算和度量到商業(yè)和科學(xué)中的應(yīng)用――中體驗數(shù)學(xué)思想。計算器和計算機使得在課程中能夠引進實際應(yīng)用。

一項應(yīng)用是否恰當重要的標準是看它是否能引起學(xué)生興趣。是否是激發(fā)他們的數(shù)學(xué)思維，有吸引力的應(yīng)用應(yīng)當取自兒童生活的世界，取自社會事件，或課程的其他部分，不僅取自自然科學(xué)，也要取自商業(yè)、地理、藝術(shù)和其他科目。

教學(xué)的基本目的應(yīng)當是讓學(xué)生學(xué)會在反映實際應(yīng)用的情境中使用數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)思想總是應(yīng)當在有意義的數(shù)學(xué)活動的情境中呈現(xiàn)和發(fā)展。

原則4：課程的每一部分都應(yīng)當由其本身的價值來證明其必要性。

數(shù)學(xué)提供了如此豐富、大量有趣、有用的思想，以至難以挑選。然而，課程中不能僅僅因為現(xiàn)在已經(jīng)有了的概念或技能就應(yīng)當保留。雖然在現(xiàn)在的課程中有許多是有效的，但是我們不能再把“課程中已經(jīng)有了”作為這個課題應(yīng)當保留的主要理由。我們需要“從零開始”，沒有一個思想不作仔細考查。

修訂課程不應(yīng)當只是增加更多的課題，而是確立重點，有些重點應(yīng)當取消，有消增加，有些保留。甚至對于確實要保留的重要重點，現(xiàn)代應(yīng)用或現(xiàn)代技術(shù)可以作十分不同的處理。常常一種新穎的處理方法可以避免阻止必要改革的思想僵化。原則5：課程的選材應(yīng)當和中小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代化標準相一致。

新的“中小學(xué)數(shù)學(xué)課程和評價標準（NCTM，1989）提供了一類課程標準的范例，應(yīng)當用來作評定中小學(xué)數(shù)學(xué)課題的價值的標準。課程的選材應(yīng)當和這些課程標準相一致，改革的步子如此巨大，甚至現(xiàn)在的課程指南未適應(yīng)明天的需要。課程改革要求持續(xù)地努力，植限于學(xué)校的現(xiàn)實，目標堅定地指向未來。

原則6：各級的數(shù)學(xué)教學(xué)都應(yīng)當促進學(xué)生積極參與

恰當使用新技術(shù)要求有新的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，使學(xué)生成為更積極的學(xué)習(xí)者。除了使用新技術(shù)之外，關(guān)于學(xué)生如何學(xué)習(xí)的研究提出了更多教數(shù)學(xué)的有效方法。數(shù)學(xué)教學(xué)必須適應(yīng)這兩方面的發(fā)展，大多數(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)不再適于傳統(tǒng)的老師教學(xué)生被動地聽的模式。

沒有單獨的一種教學(xué)方法。也沒有單獨的一類學(xué)習(xí)經(jīng)驗?zāi)軌虬l(fā)展各種數(shù)學(xué)能力。需要的是各種活動，包括學(xué)生之間的討論，實習(xí)作業(yè)，重要技術(shù)的實踐。問題解決，日常的應(yīng)用，調(diào)研工作，以及教師講解。

教師應(yīng)當是催化劑，他幫助學(xué)生學(xué)會自己思考，他們不應(yīng)當只扮演教育者，其作用只是告訴學(xué)生“正確方法”。此外，課堂活動應(yīng)當給學(xué)生提供充分的機會用書面和口頭的數(shù)學(xué)語言彼此交流。

一個有用的比喻是，教師是一個明智的輔導(dǎo)員，不同的時間，要求教師充當以下不同角色：

模特兒角色，他不僅演示正確途徑，而且也演示錯誤的開端和高級思維技能，引導(dǎo)去解決問題。