金融數(shù)學(xué)

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摘要：簡述了金融數(shù)學(xué)理論的若干前沿問題和金融數(shù)學(xué)理論未來發(fā)展趨勢的展望﹑金融數(shù)學(xué)理論發(fā)展面臨的新挑戰(zhàn)。

關(guān)鍵詞：金融數(shù)學(xué)；美式期權(quán)；利率；衍生證券

1金融數(shù)學(xué)的若干前沿問題與展望

“B-S模型”對市場做了許多理想的﹑不切實際的假設(shè)。以默頓為代表的許多學(xué)者對“B-S模型”進(jìn)行了各種各樣的推廣。推廣主要集中在對模型所依賴于成立的一系列假設(shè)條件的修正上。例如允許利率是時間的函數(shù)或隨機(jī)變量（如默頓的隨機(jī)利率模型）；允許股票在衍生證券的有效期內(nèi)支付紅利；存在交易費(fèi)用；對于標(biāo)的資產(chǎn)，也推廣到其他種類，如外匯﹑期貨﹑利率等。這些推廣無疑是重要的，但仍有許多問題亟待解決。例如美式期權(quán)問題﹑利率的期限結(jié)構(gòu)問題﹑市場的波動性與突發(fā)事件問題以及市場的不完全性和信息不對稱問題等都是當(dāng)前金融面臨的重要研究課題。

1.1美式期權(quán)﹑利率的期限結(jié)構(gòu)問題

在市場交易的期權(quán)大部分是美式期權(quán)。對于美式期權(quán)的定價，問題要比歐式期權(quán)定價困難得多。因為美式期權(quán)可以在到期前的任何時刻執(zhí)行，這就牽涉到期權(quán)的最佳執(zhí)行時間問題。一般情況下期權(quán)的最佳執(zhí)行時間是一個十分復(fù)雜的問題，至今還沒有得到很好地解決。如果應(yīng)用偏微分方程的方法來討論美式期權(quán)的定價，對應(yīng)的偏微分方程的問題將變?yōu)椤白杂蛇吔纭眴栴}，在數(shù)學(xué)上是一個有趣而又困難的問題。一般情況下，美式期權(quán)沒有精確的解析定價公式，因而只能用數(shù)值算法或解析近似解，如蒙特卡羅模擬法﹑數(shù)圖法﹑有限差方分法等。除了美式期權(quán)外，還有很多新型金融產(chǎn)品，其定價也極具挑戰(zhàn)性。

在“B-S模型”中，利率是給定的常數(shù)。實際上，利率的變化是相當(dāng)復(fù)雜的，不同性質(zhì)﹑不同到期日的證券，利率的變化規(guī)律互不相同，這也就是利率的期限結(jié)構(gòu)（TermStructureofInterestRates）。它通常可以用收益率曲線的形式來表示。利率的期限結(jié)構(gòu)包括三種理論：市場預(yù)期理論﹑市場分割和投資偏好理論﹑流動性偏好理論。這些理論分別從不同的角度對利率的不規(guī)則變化作出了解釋。近年來由于利率風(fēng)險的日益突出，利率期權(quán)等利率衍生證券（InterestRateDerivatives）得到了迅速發(fā)展，利率的期限結(jié)構(gòu)模型更顯重要。利率的期限結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型不斷提出。著名的有Vasicek(1977),Cox-Ingersoll-Ross(1985)和Hull-White(1990)等短期利率模型以及Ho-Lee(1986)和Heath-Jarrow-MorrtOn(1992)等長期利率模型。比如，Vasicek模型假設(shè)短期利率r(t)在風(fēng)險中性概率下滿足Ornstein-Uhlenbeck過程:(dr(t)=a(b-r(t))dt+σdwt)

其中(a,b,σ)為正常數(shù)，(wt)為P下的一維標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動，該模型是第一個單因子模型，許多模型（如Cox-Ingersoll-Ross,Hull-White等模型）都是該模型的推廣?，F(xiàn)在比較流行的是多因子模型（如高維平方高斯馬爾科夫過程）。Ho-Lee和Heath-Jarrow-Morton模型則是直接用長期利率模型來描述利率的期限結(jié)構(gòu)。

1.2市場的波動性與突發(fā)事件問題以及市場的不完全性和信息不對稱問題

金融市場的波動現(xiàn)象，一般可以歸結(jié)為隨機(jī)變量，以股票價格的波動為例。我們知道，股票價格的波動率是刻劃未來股票價格變動的一種最關(guān)鍵的變量。在“B-S模型”及其大部分推廣中，股票價格的波動率為常數(shù)，這在實際中是不合理的。為更準(zhǔn)確地描述股票價格變化的規(guī)律，有幾種重要的因素必須考慮：股票價格的波動率對股票價格的依賴性；波動率與其它其它隨機(jī)變量的依賴性；股票價格可能的突然跳動（象1929年或1987年的股票市場崩潰那樣的事件）。隨機(jī)波動率模型能夠體現(xiàn)上述某些因素，目前受到極大的重視。這類模型（如Hull-White模型）假設(shè)波動率服從某一隨機(jī)過程，比如幾何布朗運(yùn)動等等。在離散時間情形，自回歸條件異方差（AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,ARCH)模型是目前最常用的模型之一。它的種種推廣，如GARCH,EGARCH模型等。這些模型都是將原來分析時間序列的方法用來分析波動率。

對于重大金融震蕩，是否可以研究一種至少能解釋其若干特征的嚴(yán)格的定量描述呢？突發(fā)事件是“小概率事件”?；趥鹘y(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程的預(yù)測理論完全不適應(yīng)。傳統(tǒng)理論或許能解釋市場在95%的時間里發(fā)生的情況。然而，如果人們承認(rèn)突發(fā)事件就包括在剩余的5%的話，那么這個理論所描述的圖景就沒有反映實際情況。突發(fā)事件在金融領(lǐng)域中具有不容忽視的影響，像1997年的東南亞金融危機(jī)，就給一些國家造成了巨大的損失?，F(xiàn)在有些研究人員認(rèn)為，描述海岸線形狀和宇宙星系模式的分形理論可以解釋股票價格如何瘋漲與暴跌。分形和多分形的理論是本世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。分形和多分形的目的并不是要準(zhǔn)確地預(yù)測未來，但它們確實常常是市場風(fēng)險的更切合實際的描述。金融系統(tǒng)由于其多因素性﹑非線性和不確定性而顯得尤為復(fù)雜。金融系統(tǒng)的復(fù)雜性以及對突發(fā)事件的研究是金融數(shù)學(xué)的重要課題。

現(xiàn)實的證券市場是不完全市場。這常常表現(xiàn)為市場中的證券和股票投資組合是受到限制的。例如，不準(zhǔn)賣空股票﹑不準(zhǔn)貸款炒股﹑限制交易數(shù)量等。達(dá)菲（D.Duffie）等人在不完全市場的一般均衡理論方面作出了重要工作。他們的工作從理論上證明了金融創(chuàng)新的合理性和對提高社會資本資源配置效率的重大意義。另外，在現(xiàn)實的市場中，參與的經(jīng)濟(jì)人掌握的信息是不對稱的（即信息不互通﹑掌握的信息不一樣）。在信息不對稱情況下，問題主要涉及到經(jīng)濟(jì)人之間的相互對策。由于不對稱信息刻劃的困難，參與的經(jīng)濟(jì)人的信息層次往往很多，問題的困難性可想而知的。數(shù)學(xué)處理就更為困難。

3金融數(shù)學(xué)研究面臨的新挑戰(zhàn)

長期以來，人們用以描述金融經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型從本質(zhì)上來說只有兩類：一類是牛頓（Newton）的決定論模型，即給定初始條件或者狀態(tài)，則金融經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的行為完全確定，第二類是愛因斯坦（Einstein）的隨機(jī)游動模型或者布朗（Brown）運(yùn)動模型。簡單地說，即確定性模型和隨機(jī)性模型。確定性狀態(tài)和隨機(jī)性狀態(tài)也被認(rèn)為是兩種對立的狀態(tài)。同時，所用模型的數(shù)學(xué)形式也基本上是線性的，或者存在非線性也是假設(shè)金融系統(tǒng)運(yùn)行在線性穩(wěn)定而加以一階線性化處理，這些似乎成了一種傳統(tǒng)和定式。尤其是近30多年來，金融界已分成兩派，一派是技術(shù)分析學(xué)者，相信市場遵從有規(guī)律的周期性循環(huán)；而另一派即定量分析學(xué)者則認(rèn)為市場不存在周期性循環(huán)。最近的研究利用物理學(xué)中開發(fā)出的方法來分析非線性系統(tǒng)，認(rèn)為真實情況介于兩者之間。這樣，金融數(shù)學(xué)至少面臨下列四個問題亟待解決。

首先，對金融經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的變與動的直覺三性（隨機(jī)性，模糊性，混沌性）進(jìn)行綜合分析研究，已確定從此到彼得過渡條件﹑轉(zhuǎn)換機(jī)理﹑演變過程﹑本質(zhì)特征﹑產(chǎn)生結(jié)果以及人們所采取的相應(yīng)的金融對策，尤其是貨幣政策。

其次，對以信用貨幣為核心的三量（貨幣需求量﹑貨幣共給量﹑金融資金流向流量）進(jìn)行綜合分析研究，對貨幣均衡和非均衡的合理界定提供正確的金融理論以及數(shù)學(xué)模型，為改善社會總量平衡關(guān)系將對財政﹑金融﹑物質(zhì)﹑外匯四大平衡提供依據(jù)。

再次，對支撐現(xiàn)代金融大廈的三大支柱即三率（利率﹑匯率﹑保率﹑擴(kuò)至經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域還包含稅率﹑物價綜合指數(shù)）進(jìn)行綜合分析研究，為制定合理的三（五）率體系提供符合實際的金融數(shù)學(xué)模型支撐。

最后，對分別以生產(chǎn)力要素選擇，地區(qū)或部門資源配置，綜合金融經(jīng)濟(jì)指標(biāo)為研究對象的三觀（微觀﹑中觀﹑宏觀）進(jìn)行綜合分析研究，以便將其成果更充分地更廣泛地更方便地應(yīng)用于金融經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。（上述問題簡稱為“四個三工程”）隨著社會主義市場經(jīng)濟(jì)的建立和發(fā)展，通貨膨脹時有發(fā)生和加劇，還會有新的更復(fù)雜的金融問題需要我們?nèi)パ芯?，去探討，去解決。

參考文獻(xiàn)

［1］MertonR.C.,Continuous-TimeFinance.BlackwellPublisherInc.1996.

［2］KaratzasI,ShreveSE,MethodsofMathematicalFinance,NewYork:SpringerVerlag,1998.