數(shù)學(xué)賞析數(shù)學(xué)美

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眾所周知，數(shù)學(xué)在我們的基礎(chǔ)教育中占有很大的份量，是我們的文化中極為重要的組成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。數(shù)學(xué)美深深地感染著人們的心靈，激起人們對她的欣賞。下面從幾個方面來欣賞數(shù)學(xué)美。

一、簡潔美

愛因期坦說過：“美，本質(zhì)上終究是簡單性?！彼€認為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達到簡單性的美學(xué)準則。物理學(xué)家愛因期坦的這種美學(xué)理論，在數(shù)學(xué)界，也被多數(shù)人所認同。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V－E＋F＝2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西。如：平面圖的點數(shù)V、邊數(shù)E、區(qū)域數(shù)F滿足V－E＋F＝2，這個公式成了近代數(shù)學(xué)兩個重要分支——拓撲學(xué)與圖論的基本公式。由這個公式可以得到許多深刻的結(jié)論，對拓撲學(xué)與圖論的發(fā)展起了很大的作用。

在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：

圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。

平均不等式：對任何正數(shù)

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則

數(shù)學(xué)的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數(shù)學(xué)歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。

二、和諧美

數(shù)論大師賽爾伯格曾經(jīng)說，他喜歡數(shù)學(xué)的一個動機是以下的公式：，這個公式實在美極了，奇數(shù)1、3、5、…這樣的組合可以給出，對于一個數(shù)學(xué)家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風(fēng)景。

歐拉公式：，曾獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣美弗－歐拉公式是――（1）。這個公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數(shù)――三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了。對他們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆――確是“天作之合”，因為，由他們的結(jié)合能派生出許多美的，有用的結(jié)論來。

比如，由公式（1）得。由這兩個公式，可把三角函數(shù)的定義域擴展到復(fù)數(shù)域上去，即考慮“弧度”為復(fù)數(shù)的“角”。新定義的余弦函數(shù)與我們早已熟悉的通常的余弦函數(shù)和諧一致。

和諧的美，在數(shù)學(xué)中多得不可勝數(shù)。如著名的黃金分割比，即0.61803398…。

在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比。

數(shù)學(xué)中有一個很著名的菲波那契數(shù)列｛an｝，定義如下：

a1=1，a2=1，

當(dāng)n≥3時，an＝an－1＋an－2

可以證明，當(dāng)n趨向∞時，極限是。

維納斯的美被所有人所公認，她的身材比也恰恰是黃金分割比。

黃金分割比在許多藝術(shù)作品中、在建筑設(shè)計中都有廣泛的應(yīng)用。達·芬奇稱黃金分割比為“神圣比例”．他認為“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上”。

與有關(guān)的問題還有許多，“黃金分割”、“神圣比例”的美稱，她受之無愧。

三、奇異、突變美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請全世界的數(shù)學(xué)家們評選“近50年的最佳數(shù)學(xué)問題”，其中有一道相當(dāng)簡單的問題：有哪些分數(shù)，不合理地把b約去得到，結(jié)果卻是對的？

經(jīng)過一種簡單計算，可以找到四個分數(shù)：。這個問題涉及到“運算謬誤，結(jié)果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎。

還有一些“歪打正著等式”，比如

人造衛(wèi)星、行星、彗星等由于運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：

到定點距離與它到定直線的距離之比是常數(shù)e的點的軌跡，

當(dāng)e＜1時，形成的是橢圓．

當(dāng)e＞1時，形成的是雙曲線．

當(dāng)e＝1時，形成的是拋物線．

常數(shù)e由0.999變?yōu)?、變?yōu)?.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質(zhì)完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。

橢圓與正弦曲線會有什么聯(lián)系嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美。

無序的混沌狀態(tài)，通常以為不可用數(shù)學(xué)來研究?？蓮拇_定的現(xiàn)象（一個二次函數(shù)λx(1-x)）通過迭代居然能產(chǎn)生出隨機現(xiàn)象，也就是說無序的混沌狀態(tài)，竟然可以從一個二次方程的迭代產(chǎn)生出來。這就把兩種完全不同類型的數(shù)學(xué)問題溝通起來了。這深刻的發(fā)現(xiàn)，使人不禁感嘆大自然規(guī)律的神奇。還有，菲根鮑姆對許多迭代函數(shù)進行了大量的計算，都得到了常數(shù)4.669201629…，這決非巧合，盡管目前還不清楚這個數(shù)的本質(zhì)。就是數(shù)學(xué)的這種奇異美使神秘、嚴肅、程式化的數(shù)學(xué)世界充滿了勃勃生機。

四、對稱美

在古代“對稱”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。事實上，譯自希臘語的這個詞，原義是“在一些物品的布置時出現(xiàn)的般配與和諧”。畢達哥拉斯學(xué)派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形――圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形――任何一條直徑都是它的對稱軸。

梯形的面積公式：S＝，

等差數(shù)列的前n項和公式：，

其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的。

h與n是對稱的。

對稱不僅美，而且有用。

電磁波的波動方程：

其中，B為磁場強度，E為電場強度，C為光速。這個方程中B與E是對稱的，麥克斯韋用純數(shù)學(xué)的方法從這些方程中推導(dǎo)出可能存在的電磁波，這種電磁波后來被赫芝發(fā)現(xiàn)，由此可得電場與磁場的統(tǒng)一性。

對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數(shù)學(xué)家獨自欣賞的，人們對于對稱美的追求是自然的、樸素的。如格點對稱，十四世紀在西班牙的格拉那達的阿爾漢姆拉宮，存在所有的格點對稱，而1924年才證明出格點對稱的種類。此外，還有格度對稱，如我們喜愛的對數(shù)螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。

五、創(chuàng)新美

歐幾里得幾何曾經(jīng)是完美的經(jīng)典幾何學(xué)，其中的公理5：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”和結(jié)論“三角形內(nèi)角和等于二直角”，這些似乎是天經(jīng)地義的絕對真理。但羅馬切夫斯基卻采用了不同公理5的結(jié)論：“過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，“三角形內(nèi)角和小于二直角”，從而創(chuàng)造了羅氏幾何。黎曼幾何學(xué)沒有平行線。這些與傳統(tǒng)觀念相違背的理論，并不是虛無飄渺的，當(dāng)我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學(xué)是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應(yīng)用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數(shù)學(xué)計算上的困難。每一個理論都在需要不斷創(chuàng)新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們再大膽設(shè)想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學(xué)呢？事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統(tǒng)一在曲面的內(nèi)在幾何學(xué)中，還可以通過克萊因幾何學(xué)與變換群的觀點將三種幾何統(tǒng)一起來。在不斷創(chuàng)新的過程中，數(shù)學(xué)得到了發(fā)展。

六、統(tǒng)一美

數(shù)的概念從自然數(shù)、分數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)，擴大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無數(shù)次坎坷，范圍不斷擴大了，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣。

英國數(shù)學(xué)家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。后來，他“被迫作出妥協(xié)”，犧牲了復(fù)數(shù)集中的一條性質(zhì)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為a1+a2i+a3j+a4k（a1，a2i，a3j，a4k為實數(shù)）的數(shù)，其中i、j、k如同復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位。若a3＝a4＝0，則四元數(shù)a1+a2i+a3j+a4k是一般的復(fù)數(shù)。四元數(shù)的研究推動了線性代數(shù)的研究，并在此基礎(chǔ)上形成了線性結(jié)合代數(shù)理論。物理學(xué)家麥克斯韋利用四元數(shù)理論建立了電磁理論。

數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程。統(tǒng)一的目的也正如希而伯特所說的：“追求更有力的工具和更簡單的方法”。

愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不能不說是一件統(tǒng)一的藝術(shù)品。但他還是沒有完成統(tǒng)一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁復(fù)雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統(tǒng)一美也需要永遠的追求。

數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學(xué)價