資金有限獨(dú)立方案

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[摘要]方案選擇時(shí)，構(gòu)成方案現(xiàn)金流量的數(shù)據(jù)或計(jì)算參數(shù)可能不確定。這種不確定可能表現(xiàn)為隨機(jī)性，即各期現(xiàn)金流量和計(jì)算參數(shù)為隨機(jī)變量。本文研究了隨機(jī)條件下，在假設(shè)決策準(zhǔn)則的情況下如何排序選擇資金有限獨(dú)立方案。文中介紹了隨機(jī)條件下的決策準(zhǔn)則,并給出了在方案經(jīng)濟(jì)評價(jià)中這些準(zhǔn)則的常用求解措施；給出了隨機(jī)條件下資金有限獨(dú)立方案決策的一般模型和該模型的求解方法，最后文中給出數(shù)值案例利用組合互斥法展示了隨機(jī)條件下資金有限獨(dú)立方案的經(jīng)濟(jì)評價(jià)。

[關(guān)鍵詞]凈現(xiàn)值隨機(jī)變量經(jīng)濟(jì)評價(jià)

一、引言

在若干獨(dú)立方案比較和優(yōu)選過程中，最常見的約束是資金的約束。在確定條件下,對于獨(dú)立方案的比選,如果沒有資金的限制，只要方案本身的NPV≥0,方案就可行,但在有明確資金限制時(shí)，受資金擁有量的約束,有可能不能采用所有經(jīng)濟(jì)上合理的方案，只能從中選擇一部分方案實(shí)施,這就出現(xiàn)了資金合理分配問題。

有資金約束條件下的獨(dú)立方案選擇，其根本原則在于使用有限的資金獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益。確定條件下，資金有限獨(dú)立方案的選擇問題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)0-1整數(shù)規(guī)劃問題。其基本模型為：

式中表示第i個(gè)方案的凈現(xiàn)值；表示第i方案的總投資，I表示總的資金限額；為決策變量，=0表示不選第方案，=1表示選擇i方案。

該0-1整數(shù)規(guī)劃的求解在經(jīng)濟(jì)評價(jià)中常用的方法主要有：獨(dú)立方案組合互斥化法（相當(dāng)于規(guī)劃中的枚舉法）、凈現(xiàn)值率排序法和0-1整數(shù)規(guī)劃法。當(dāng)方案數(shù)(n)較小時(shí)最常用的方法為組合互斥法。該法的基本思想是：在有資金約束條件下獨(dú)立方案的比選，由于每個(gè)獨(dú)立方案都有兩種可能：選擇或拒絕，故n個(gè)獨(dú)立方案可以構(gòu)成2n個(gè)組合方案，每個(gè)方案組合可以看成是一個(gè)滿足約束條件的互斥方案，這樣互斥方案的經(jīng)濟(jì)評價(jià)方法可以選擇出一個(gè)符合評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的可行方案組合。因此，有約束條件的獨(dú)立方案的選擇可以通過方案組合轉(zhuǎn)化為互斥方案的比選，其評價(jià)的基本步驟如下。

1.分別對各獨(dú)立方案進(jìn)行絕對效果檢驗(yàn)。即剔出NPV<0的方案；

2.對通過絕對效果檢驗(yàn)的方案，列出不超過總投資限額的所有組合投資方案，則這些組合方案之間具有互斥的關(guān)系；

3.將各組合方案按初始投資額大小順序排序，按互斥方案的比選原則，選擇最優(yōu)的方案組合，即分別計(jì)算各組合方案的凈現(xiàn)值，以凈現(xiàn)值最大的組合方案為最佳方案組合。

當(dāng)方案數(shù)目較大時(shí)，由于方案組合數(shù)(2n)較大，采用組合互斥法雖然可行但是工作量較大，所以方案數(shù)目大時(shí)常用規(guī)劃軟件求解，或者設(shè)計(jì)算法求解。

以上的評價(jià)方法是針對確定條件下（現(xiàn)金流量和參數(shù)為實(shí)數(shù)）的經(jīng)濟(jì)評價(jià)。經(jīng)濟(jì)評價(jià)時(shí)，評價(jià)的一些基礎(chǔ)數(shù)據(jù)能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出來，而另一些數(shù)據(jù)卻不能。雖然某些數(shù)據(jù)（現(xiàn)金流量和參數(shù)）不能準(zhǔn)確估計(jì)出，但是通過工程實(shí)踐，人們往往能夠知道現(xiàn)金流量和參數(shù)的分布情況。當(dāng)方案的現(xiàn)金流量和參數(shù)為隨機(jī)分布時(shí)，評價(jià)問題就成了隨機(jī)條件下的經(jīng)濟(jì)評價(jià)。和確定條件下的經(jīng)濟(jì)評價(jià)一樣，隨機(jī)條件下的經(jīng)濟(jì)評價(jià)也主要面臨三種類型方案的評價(jià)：獨(dú)立方案、互斥方案和資金有限獨(dú)立方案。對于前兩種類型方案的經(jīng)濟(jì)評價(jià)在技術(shù)經(jīng)濟(jì)和工程經(jīng)濟(jì)等文獻(xiàn)中基本都有所涉及，但是對第三種方案的經(jīng)濟(jì)評價(jià)尚很少探討。

本文將探討隨機(jī)條件下，如何在決策準(zhǔn)則下排序選擇資金有限獨(dú)立方案。本文將介紹隨機(jī)條件下的決策準(zhǔn)則及其在方案經(jīng)濟(jì)評價(jià)中的求解措施；給出隨機(jī)條件下資金有限獨(dú)立方案決策的一般模型和該模型的求解方法，最后給出數(shù)值案例利用組合互斥法展示隨機(jī)條件下資金有限獨(dú)立方案的經(jīng)濟(jì)評價(jià)。

二、隨機(jī)條件下的決策準(zhǔn)則及其數(shù)值計(jì)算

隨機(jī)條件下進(jìn)行經(jīng)濟(jì)評價(jià)時(shí)，方案的現(xiàn)金流量或參數(shù)具有隨機(jī)性，按此現(xiàn)金流量和參數(shù)獲得的評價(jià)指標(biāo)（如凈現(xiàn)值）也是隨機(jī)變量。經(jīng)濟(jì)評價(jià)時(shí)需要對方案進(jìn)行排序選擇，所以，隨機(jī)條件下，進(jìn)行經(jīng)濟(jì)評價(jià)時(shí)首先要解決的問題是如何對評價(jià)指標(biāo)為隨機(jī)變量的方案進(jìn)行排序。如前所述，評價(jià)指標(biāo)為隨機(jī)變量，也就是說，隨機(jī)條件下的經(jīng)濟(jì)評價(jià)首先要解決的問題是如何對隨機(jī)變量排序的問題。在目前的文獻(xiàn)中，隨機(jī)條件下對隨機(jī)變量的排序通常是通過決策準(zhǔn)則來完成。隨機(jī)條件下決策準(zhǔn)則較多，因此，隨機(jī)條件下經(jīng)濟(jì)評價(jià)需要回答兩個(gè)基本問題：一個(gè)就是決策者利用何種決策準(zhǔn)則（實(shí)質(zhì)上就是利用何種方法排序隨機(jī)變量），隨機(jī)條件下常用的決策準(zhǔn)則有期望準(zhǔn)則、方差準(zhǔn)則、期望方差準(zhǔn)則和概率值準(zhǔn)則。本文的研究中主要采用期望準(zhǔn)則，但也可以類推到其他準(zhǔn)則。另一個(gè)問題是如何獲取這些決策準(zhǔn)則的計(jì)算值。關(guān)于這些值的一般計(jì)算方法在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)類教材和文獻(xiàn)中均有詳細(xì)介紹，在方案經(jīng)濟(jì)評價(jià)中，確定這些決策準(zhǔn)則計(jì)算值的主要途徑有兩種：一是利用中心極限定理確定。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)方案的現(xiàn)金流量足夠多時(shí)，方案的評價(jià)指標(biāo)近似服從正態(tài)分布，因此，在此理論下，由于評價(jià)指標(biāo)的分布已知，問題的關(guān)鍵在于確定出分布的期望值和方差值，當(dāng)期望值和方差值已知后，就可以利用正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化等技術(shù)計(jì)算概率值。經(jīng)濟(jì)評價(jià)時(shí)，能利用中心極限定理的情況需滿足條件:（1)現(xiàn)金流量足夠多；(2)方案的各期隨機(jī)現(xiàn)金流量相互獨(dú)立；(3)方案的參數(shù)（折現(xiàn)率）為確定值。其中(1)是滿足中心極限定理的前提條件；(2)和(3)是方便期望值和方差值的計(jì)算，因?yàn)楫?dāng)現(xiàn)金流量不獨(dú)立時(shí)方差不易確定，同時(shí)當(dāng)參數(shù)(折現(xiàn)率)為隨機(jī)變量時(shí)，由于折現(xiàn)系數(shù)方次較高，所以直接確定期望方差較難。二是利用隨機(jī)模擬確定。對于隨機(jī)條件下的問題基本上都可以采用隨機(jī)模擬求解期望、方差和發(fā)生概率。

三、基本假設(shè)和基本問題模型

1.基本假設(shè)

為了文中表述的方便，這里首先做出一些基本假設(shè)：

（1)各方案間相互獨(dú)立。（2)方案中各現(xiàn)金流量相互獨(dú)立。（3)將各方案中的投資現(xiàn)金流量和總的資金限額均表述為隨機(jī)變量。這個(gè)假設(shè)主要是為了將分析問題更一般化，投資現(xiàn)金流量也可能不為隨機(jī)變量，而為確定量，同時(shí)，資金限額也可能為確定量。當(dāng)以上兩者或其中一個(gè)為確定量時(shí)，仍然可按后敘方法進(jìn)行分析。（4)決策者決策時(shí)采用期望值準(zhǔn)則；這個(gè)假設(shè)也僅僅是為了后面模型的表述，決策者也可以采用其他的決策準(zhǔn)則，在應(yīng)用時(shí)，只需將后面模型里面的期望值準(zhǔn)則換成其他準(zhǔn)則即可推廣。（5)評價(jià)指標(biāo)采用凈現(xiàn)值指標(biāo)；同前面假設(shè)(4)一樣，這個(gè)假設(shè)也是為了表述模型的需要，如果評價(jià)者采用其他評價(jià)指標(biāo)，只需將模型里的凈現(xiàn)值指標(biāo)換成相應(yīng)的評價(jià)指標(biāo)即可。（6)各方案壽命確定且相等。由于假設(shè)采用的是凈現(xiàn)值指標(biāo)，所以方案比較時(shí)要求壽命相等。如果各方案的壽命為隨機(jī)變量，或者壽命確定但不相等，此時(shí)只需將模型里的凈現(xiàn)值指標(biāo)換成凈年值指標(biāo)即可。

2.基本模型

在滿足上述基本假設(shè)的前提下，隨機(jī)條件下資金有限獨(dú)立方案的經(jīng)濟(jì)評價(jià)的基本模型為：

式中表示第i個(gè)方案的凈現(xiàn)值，表示第方案的凈現(xiàn)值期望值；表示第i方案的總投資，表示第方案的投資的期望值，I表示總的資金限額，表示總的資金限額的期望值，為決策變量，=0表示不選第方案，=1表示選擇i方案。

該模型為0-1整數(shù)規(guī)劃的隨機(jī)期望值模型。求解時(shí)，當(dāng)n(方案個(gè)數(shù))較大或折現(xiàn)率為隨機(jī)變量時(shí)(折現(xiàn)函數(shù)方次較高不易確定期望值），通常需要借助計(jì)算軟件或編寫計(jì)算程序（使用算法）來實(shí)現(xiàn)；當(dāng)n(方案個(gè)數(shù))較小且折現(xiàn)率為確定值時(shí)，可以通過枚舉法——組合方案互斥法來完成。本文將討論當(dāng)n(方案個(gè)數(shù))較小的情況，n(方案個(gè)數(shù))較大的情況將在后續(xù)的研究中進(jìn)行探討。

四、模型求解——組合互斥法

組合互斥法的基本思想就是將獨(dú)立方案通過完全組合的辦法將個(gè)獨(dú)立方案組合成個(gè)互斥方案，然后利用互斥方案選擇的方法選擇方案。該方法實(shí)質(zhì)上就是采用枚舉法求解該規(guī)劃問題，本文給出隨機(jī)條件下資金有限獨(dú)立方案的組合互斥法的求解過程：

1.分別對各獨(dú)立方案進(jìn)行“絕對效果檢驗(yàn)”。按照本文所采用的期望值決策準(zhǔn)則假設(shè)，該步驟就是分別計(jì)算各獨(dú)立方案的凈現(xiàn)值期望值，并判斷其是否大于等于零，然后剔除掉凈現(xiàn)值期望值小于零的方案。

2.組合通過“絕對效果檢驗(yàn)”的獨(dú)立方案

3.計(jì)算各方案組合的投資期望值并判斷該值是否大于投資限額的期望值，剔除投資期望值大于投資限額期望值的方案組合，保留投資期望值小于等于投資限額期望值的方案組合。

4.計(jì)算保留方案組合的凈現(xiàn)值期望值，選擇凈現(xiàn)值期望值最大的方案組合。

五、數(shù)值案例

設(shè)某部門未來的資金額可能為8000～8200，各值均可能發(fā)生。該部門現(xiàn)有A、B、C三個(gè)獨(dú)立方案，各方案的初始投資、年收益和年支出均為隨機(jī)變量，具體如表1所示。公司要求的最低收益率為15%，該部門會(huì)選擇哪些方案？

根據(jù)上面所給的方案選擇過程有：

1.分別對各獨(dú)立方案進(jìn)行“絕對效果檢驗(yàn)”

式中，(P/A,15%,5)為折現(xiàn)率為15%，年限為5年的年金現(xiàn)值系數(shù)，其值為3.3522。通過第一步分析可知三個(gè)方案的凈現(xiàn)值期望值均大于零，三個(gè)方案都通過了“絕對效果檢驗(yàn)”。

2.組合通過“絕對效果檢驗(yàn)”的獨(dú)立方案

對A、B、C三個(gè)方案進(jìn)行組合，共有23＝8各組合方案(如表2所示）。

3.計(jì)算各方案組合的投資期望值(如表2第三列所示),并判斷該值是否大于投資限額的期望值((8000+8200)/2=8100),剔除投資期望值大于投資限額期望值的方案組合(A+B+C）,保留投資期望值小于等于投資限額期望值的方案組合,即序號1-7的組合方案。

4.計(jì)算保留方案組合的凈現(xiàn)值期望值(如表2最后一列所示），通過比較保留組合方案的凈現(xiàn)值期望值，可知A+C組合方案的凈現(xiàn)值期望值最大，所以選擇A+C兩方案。

六、結(jié)論

本文討論了隨機(jī)條件下如何利用決策準(zhǔn)則對資金有限獨(dú)立方案進(jìn)行評價(jià)選優(yōu)。簡單介紹了隨機(jī)條件下的決策準(zhǔn)則，并給出在方案的評價(jià)選擇實(shí)際中，隨機(jī)條件下決策準(zhǔn)則值的計(jì)算措施：中心極限定理和隨機(jī)模擬。給出了隨機(jī)條件下資金有限獨(dú)立方案選擇的一般模型和解法（算法求解和組合互斥法求解）。并討論組合互斥法求解的一般過程。最后給出數(shù)值案例展示了組合互斥法的具體應(yīng)用。但算法求解本文尚未探討，這是未來需要解決的問題。當(dāng)方案的個(gè)數(shù)較多且折現(xiàn)率又為隨機(jī)變量時(shí)，組合互斥法討論起來較困難，因?yàn)橐环矫娼M合方案數(shù)目較大(n2)，另一方面決策值計(jì)算還需要隨機(jī)模擬。

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