復(fù)變函數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)淺析

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摘要：本文從高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“復(fù)數(shù)”內(nèi)容的變革和高觀點(diǎn)教學(xué)等角度分析了《復(fù)變函數(shù)》對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要意義，希望能讓師范生重視《復(fù)變函數(shù)》的學(xué)習(xí)．

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；高觀點(diǎn)

《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生在大學(xué)階段的必修課程，但由于師范生畢業(yè)后主要從事中學(xué)教學(xué)工作，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)復(fù)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)只在高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)，且相較于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容來說占比很小，高考試題中要求直接運(yùn)用復(fù)數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)求解的題型一般以選擇或填空題出現(xiàn)，所占卷面分值不高．所以在當(dāng)今應(yīng)試教育的背景下，大學(xué)生很容易產(chǎn)生學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》的思想誤區(qū)，覺得學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》對(duì)中學(xué)教學(xué)用處不大，從而不重視這門課程的學(xué)習(xí)．隨著師范類專業(yè)認(rèn)證的改革，師范生都需要通過教師資格證考試來獲得教學(xué)資格．而中學(xué)數(shù)學(xué)教師資格證考試涉及的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)主要是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何和概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，這就使得數(shù)學(xué)專業(yè)師范生更加不重視《復(fù)變函數(shù)》的學(xué)習(xí)．事實(shí)上，《復(fù)變函數(shù)》對(duì)中學(xué)教學(xué)有著重要的指導(dǎo)意義．下面，我們將從多方面對(duì)此加以分析．

１復(fù)數(shù)內(nèi)容在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的變革凸顯了該課程的重要性

我們先比較２００３版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７版）》，具體見表１．由表１可知，從模塊放置角度來看，復(fù)數(shù)由２００３版的選修模塊放到了２０１７版的必修模塊“幾何與代數(shù)”；從教學(xué)內(nèi)容與要求來看，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７版）》增加了復(fù)數(shù)的三角表示這一引申內(nèi)容；從教學(xué)建議角度來看，２０１７版課程標(biāo)準(zhǔn)更注重對(duì)復(fù)數(shù)的表示及幾何意義的理解，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生可增加引申內(nèi)容“復(fù)數(shù)的三角表示”．此外，２０１７版課程標(biāo)準(zhǔn)必修模塊“幾何與代數(shù)”包括平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)、立體幾何初步三部分內(nèi)容［１］．首先，通過對(duì)向量的學(xué)習(xí)，學(xué)生可理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義，掌握平面向量的概念與運(yùn)算，從而借助向量建立起幾何與代數(shù)的橋梁；其次，由于復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，可把復(fù)數(shù)視為二維向量，復(fù)數(shù)的加減就對(duì)應(yīng)向量的加減，復(fù)數(shù)內(nèi)容放置在平面向量之后，既能幫助高中生進(jìn)一步鞏固向量知識(shí)，還能讓他們深刻理解兩者之間的關(guān)系，牢固代數(shù)與幾何的橋梁；最后，在平面向量與復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充立體幾何，注入更復(fù)雜的幾何運(yùn)算，進(jìn)一步拓寬幾何與代數(shù)的橋梁．因此，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)這一綱領(lǐng)性教學(xué)文件的變革充分體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中復(fù)數(shù)內(nèi)容的重要性．

２《復(fù)變函數(shù)》為職前中學(xué)教師的高觀點(diǎn)教學(xué)打下良好的基礎(chǔ)

復(fù)數(shù)是銜接中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)《復(fù)變函數(shù)》的重要內(nèi)容，在沒有學(xué)習(xí)這門課程前，數(shù)學(xué)專業(yè)師范生對(duì)于復(fù)數(shù)領(lǐng)域的了解程度非常淺，學(xué)習(xí)本課程后不僅會(huì)更深刻理解復(fù)數(shù)內(nèi)容，更能拓寬自身對(duì)《復(fù)變函數(shù)》的認(rèn)知視野，從而重視對(duì)中學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的引導(dǎo)，設(shè)計(jì)更有效的教學(xué)．（１）學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》，數(shù)學(xué)專業(yè)師范生可了解《復(fù)變函數(shù)》的初步發(fā)展歷史與前沿，理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化價(jià)值．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉首次采用虛數(shù)單位ｉ＝－１，打破了負(fù)數(shù)沒有平方根的認(rèn)知．復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，數(shù)系擴(kuò)充的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的客觀需求［２］，它解決了實(shí)際問題在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法滿足的需求．《復(fù)變函數(shù)》是《數(shù)學(xué)分析》的后繼課程，是實(shí)分析理論在復(fù)數(shù)域上的拓展，因此，《復(fù)變函數(shù)》的講授經(jīng)常結(jié)合數(shù)學(xué)分析知識(shí)進(jìn)行類比，幫助學(xué)生順利過渡到對(duì)復(fù)分析理論的發(fā)展歷程的理解，體會(huì)人類理性思維在數(shù)學(xué)理論拓展中的作用．（２）學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》，數(shù)學(xué)專業(yè)師范生可系統(tǒng)掌握《復(fù)變函數(shù)》的基本理論與思想方法．?dāng)?shù)學(xué)專業(yè)《復(fù)變函數(shù)》課程一般講授復(fù)數(shù)理論、解析函數(shù)、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)理論、留數(shù)理論等，參見［３］．《復(fù)變函數(shù)》的開篇一般是復(fù)數(shù)理論，復(fù)數(shù)可以看作為向量，復(fù)數(shù)的加減對(duì)應(yīng)向量的加減，復(fù)數(shù)的模與輻角對(duì)應(yīng)向量的長度與方向；復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示建立在復(fù)數(shù)的幾何意義基礎(chǔ)上，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘ｚ１ｚ２相當(dāng)于把復(fù)數(shù)ｚ１這個(gè)向量伸縮ｚ２倍，然后再旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（ｚ２的輻角）；一個(gè)復(fù)數(shù)ｚ＝ｒｅｉθ開ｎｎ（≥２）方共有ｎ個(gè)根，它們均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心半徑為ｎｒ的圓周上，是內(nèi)接于該圓周的正ｎ邊形的ｎ個(gè)頂點(diǎn)．復(fù)平面上點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)鄰域?qū)?yīng)一個(gè)圓盤．學(xué)習(xí)解析函數(shù)以及多值解析函數(shù)都必須借助圖形加以理解．復(fù)積分的值一般不僅依賴積分曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)，還與積分路徑有關(guān)，而柯西積分定理揭示了復(fù)積分與路徑無關(guān)，它取決于被積函數(shù)的解析性和解析區(qū)域的單連通性．柯西積分公式告訴我們：用積分曲線上的值可以表示解析函數(shù)在積分曲線所圍區(qū)域的內(nèi)部值．解析函數(shù)的唯一性定理說明：一個(gè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的局部取值可確定它在該區(qū)域內(nèi)的整體的值．Ｐｉｃａｒｄ定理描繪了解析函數(shù)在本質(zhì)奇點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的特性．Ｒｏｕｃｈé定理考察零點(diǎn)的分布情況．由上可知，不管是從教材的編寫還是講授來看，幾何思想貫穿整個(gè)復(fù)變函數(shù)內(nèi)容，充分體現(xiàn)了《復(fù)變函數(shù)》是分析的幾何化［４］，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)理論能讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)代數(shù)與幾何結(jié)合的神奇之處．（３）學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》，數(shù)學(xué)專業(yè)師范生可優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，為中學(xué)數(shù)學(xué)解題提供新方法．復(fù)變函數(shù)為中學(xué)數(shù)學(xué)解題提供了很多新思路和新方法，中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題里不等式的證明、求函數(shù)的最值問題、平面幾何證明等各類題型都能夠運(yùn)用復(fù)變函數(shù)知識(shí)來解決，該方面的具體研究成果見［５］．這里我們以三角函數(shù)恒等式的證明為例進(jìn)行具體分析，在中學(xué)課堂上，教師先教授向量法證明兩角差余弦公式，再以此公式為基礎(chǔ)導(dǎo)出其它三角函數(shù)公式，而我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角表示后，可以補(bǔ)充歐拉公式ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ，再利用此外，利用歐拉公式比較容易推導(dǎo)關(guān)于三倍角、五倍角等的三角函數(shù)公式，這里以三倍角的三角函數(shù)公式為例展開推演：

3結(jié)語

總而言之，數(shù)學(xué)專業(yè)師范生學(xué)好《復(fù)變函數(shù)》既可深入理解中學(xué)復(fù)數(shù)內(nèi)容，又可在進(jìn)入中學(xué)教學(xué)后從更高角度講授好中學(xué)復(fù)數(shù)內(nèi)容.希望各位數(shù)學(xué)專業(yè)師范生能重視本課程的學(xué)習(xí)，創(chuàng)新教學(xué)思維.

參考文獻(xiàn)

［１］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)［Ｍ］．２０１７版．北京：人民教育出版社，２０１７．

［２］中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３．

［３］鐘玉泉．復(fù)變函數(shù)論［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２００４．

［４］潘麗云．維爾斯特拉斯的復(fù)變函數(shù)思想分析［Ｄ］．西安：西北大學(xué)，２００９．

［５］林炎生．復(fù)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用例舉［Ｊ］．中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，２０１４，（２５）：１５３－１５４．

作者:李瀏蘭 方敏 劉剛 單位:衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院